Οι επιστήμονες σήμερα στην περιοχή της κβαντομηχανικής μοιάζουν με τους σκακιστές που μαθαίνουν αργά αλλά σταθερά να παίζουν καλά. Ξέρουμε τους κανόνες της κβαντομηχανικής εδώ και 80 χρόνια, και έχουμε κάνει και μερικές έξυπνες κινήσεις. Αλλά μόνο βαθμιαία μαθαίνουμε τις αρχές ανωτέρου επιπέδου που διέπουν την πολυπλοκότητα του κβαντικού κόσμου.
- Η πληροφορία δεν είναι καθαρά μαθηματική υπόθεση. Πάντα έχει και ένα φυσικό περιεχόμενο. Στη παραδοσιακή επιστήμη της πληροφορίας, το φυσικό περιεχόμενο ακολουθεί την κλασσική μη κβαντική φυσική. Η επιστήμη της κβαντικής πληροφορίας βάζει την πληροφορία σε κβαντική αντιμετώπιση.
- Η βασική πηγή της κλασσικής πληροφορίας είναι το μπιτ, το οποίο είναι πάντα είτε 0 είτε 1. Η κβαντική πληροφορία έρχεται πάντα σε κβαντικά μπιτς ή qubits. . Τα qubits μπορούν να υπάρχουν σε υπερθέσεις που περιέχουν συγχρόνως το 0 και το 1. Μπορούν επίσης να διεμπλέκονται.
- Ένα Bit μπορεί να έχει μόνο μια εκ των δύο τιμών: 0 ή 1. Μπορεί δε να παριστάνεται αφηρημένα από ένα βέλος που κοιτάζει επάνω ή κάτω ή να αντιπροσωπεύεται από ένα διακόπτη τρανζίστορ που μπορεί να είναι ανοικτός ή κλειστός.Εικόνα 1.Ένα qubit, η κβαντική εκδοχή ενός bit, έχει πολλές περισσότερες καταστάσεις. Οι καταστάσεις μπορούν να παρασταθούν με ένα βέλος που δείχνει προς μια τοποθεσία επί της σφαίρας. Ο Βόρειος πόλος ισοδυναμεί με την κατάσταση 1, ο Νότιος πόλος με το 0. Οι άλλες τοποθεσίες είναι κβαντικές υπερθέσεις του 0 και του 1.Ένα qubit μπορεί να φαίνεται ότι περιέχει άπειρο ποσό πληροφορίας γιατί οι συντεταγμένες του μπορούν να κωδικοποιήσουν μια άπειρη ακολουθία ψηφίων. Αλλά η πληροφορία από ένα qubit πρέπει να εξαχθεί με κάποια μέτρηση. Όταν το qubit μετρηθεί, η κβαντομηχανική απαιτεί ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένα συνηθισμένο 0 ή 1. Η πιθανότητα για κάθε αποτέλεσμα από τα δύο εξαρτάται από το "γεωγραφικό πλάτος" του qubit πάνω στη σφαίρα αναπαράστασης.__________________________________________________________________________________Πηγές πληροφορίας και εργασίες με την πληροφορίαΟι μέθοδοι που χρησιμοποιούμε στην προσπάθειά μας να καταλάβουμε τις ανωτέρου επιπέδου αρχές που ισχύουν εκεί όπου το κβαντικό συναντά το πολύπλοκο, προέρχονται από την κλασσική θεωρία πληροφορίας, με κατάλληλες αφαιρέσεις και προεκτάσεις.Τελευταία ο Benjamin W. Schumacher πρότεινε ότι τα θεμελιώδη στοιχεία της επιστήμης της πληροφορίας, τόσο της κλασσικής όσο και της κβαντικής, μπορούν να συνοψιστούν στα παρακάτω τρία βήματα:1. Αναγνωρίστε μια φυσική πηγή. Ένα γνωστό κλασσικό παράδειγμα είναι μια ακολουθία από μπιτς. Αν και τα bits θεωρούνται συχνά αφηρημένες έννοιες, φέρου όμως όλη την πληροφορία που περιέχεται στα πραγματικά φυσικά αντικείμενα. Θεωρούνται λοιπόν ως φυσικές πηγές.
- 2. Αναγνωρίστε μια εργασία επεξεργασίας πληροφορίας που μπορεί να εκτελεστεί χρησιμοποιώντας τη φυσική πηγή του βήματος 1. Ένα κλασσικό παράδειγμα είναι το έργο συμπίεσης που μπορεί να υποστεί η έξοδος μιας πηγής πληροφορίας (για παράδειγμα το κείμενο ενός βιβλίου), σε μια σειρά από bits και στη συνέχεια η αποσυμπίεσή του – δηλαδή η ανάκτηση της αρχικής πληροφορίας από την συμπιεσμένη σειρά των bits.
- 3. Προσδιορίστε ένα κριτήριο επιτυχούς περάτωσης του έργου του βήματος 2. Στο παράδειγμά μας το κριτήριο θα μπορούσε να είναι, το εξαγόμενο της αποσυμπίεσης να ταιριάζει τέλεια με την είσοδο στο στάδιο της συμπίεσης.Η θεμελιώδης ερώτηση στην επιστήμη της πληροφορίας είναι: "Ποια είναι η ελάχιστη ποσότητα της φυσικής πηγής (1) που χρειαζόμαστε για να εκτελέσουμε την εργασία επεξεργασίας πληροφορίας (2) έτσι ώστε αυτή να ικανοποιεί το κριτήριο (3); Αν και η ερώτηση αυτή δεν καλύπτει όλη την επιστήμη της πληροφορίας, μας δίνει ένα ισχυρό εργαλείο για την έρευνά μας στο πεδίο αυτό.
Η ανακάλυψη αυτών των αρχών είναι ο στόχος της επιστήμης της κβαντικής πληροφορίας. Τα περισσότερα άρθρα για την επιστήμη της κβαντικής πληροφορίας εστιάζουν σε τεχνολογικές εφαρμογές, όπως η τηλεμεταφορά κβαντικών καταστάσεων από μια θέση σε μια άλλη. Άλλοι φυσικοί χρησιμοποιούν κβαντικές καταστάσεις για να δημιουργήσουν κρυπτογραφικά κλειδιά που να είναι απολύτως ασφαλή, και άλλοι γράφουν αλγόριθμους για τους κβαντικούς υπολογιστές του μέλλοντος.
Όσο ελκυστικές κι αν είναι αυτές οι νέες τεχνολογίες, δεν παύουν να κρύβουν το γεγονός ότι είναι παραπροϊόντα της αναζήτησης βαθιών νέων επιστημονικών θεμάτων. Παίζουν ένα ρόλο παρόμοιο με τις ατμομηχανές και τις άλλες μηχανές που ξεπήδησαν κατά την ανάπτυξη της θερμοδυναμικής το 18ο και 19ο αιώνα.
Η Θερμοδυναμική αναπτύχθηκε προσπαθώντας να απαντήσει στα βαθιά ερωτήματα: Πως σχετίζονται η θερμότητα, η ενέργεια και η θερμοκρασία και πως γίνονται οι μετασχηματισμοί των διαφόρων μορφών ενέργειας. Ποιος ο ρόλος της εντροπίας κλπ.
Η επιστήμη της κβαντικής πληροφορίας μας αποκάλυψε ότι η διεμπλοκή είναι μια ποσοτική ιδιότητα σαν την ενέργεια. Άλλα συστήματα έχουν μικρή διεμπλοκή και άλλα μεγάλη. Όσο περισσότερη διαθέσιμη διεμπλοκή έχει ένα σύστημα, τόσο πιο κατάλληλο είναι για τη διαχείριση της κβαντικής πληροφορίας.
Παράλληλα οι ερευνητές έχουν αρχίσει να διατυπώνουν και τους πρώτους ισχυρούς νόμους που αφορούν τη διεμπλοκή. Αυτή η περιγραφή βοηθάει να καταλάβουμε πως μπορούμε να επεξεργαστούμε την κβαντική πληροφορία.
Η επιστήμη όμως της κβαντικής πληροφορίας είναι αρκετά νέα, ώστε οι επιστήμονες διαφωνούν ποια θέματα βρίσκονται στο κέντρο της. Η προσωπική άποψη του συγγραφέα είναι ότι ότι πρέπει να αναζητηθούν γενικές αρχές όπως π.χ. οι νόμοι της διεμπλοκής, που θα μας βοηθήσουν να καταλάβουμε την πολυπλοκότητα στα κβαντικά συστήματα.
Πολυπλοκότητα και κβάντα
Πολλές μελέτες για την πολυπλοκότητα επικεντρώνονται σε συστήματα όπως του καιρού, τα οποία είναι μάλλον κλασσικά συστήματα παρά κβαντικά. Η εστίαση αυτή είναι φυσική γιατί τα περισσότερα πολύπλοκα συστήματα που συναντάμε είναι μακροσκοπικά, περιέχουν δηλαδή πολλά συστατικά μέρη, και είναι αλήθεια ότι όσο μεγαλώνει το μέγεθος των συστημάτων, τόσο χάνουν την κβαντική τους συμπεριφορά και γίνονται κλασσικά.
Αυτή η μετάβαση από το κβαντικό στο κλασσικό συμβαίνει γιατί τα πολύ μεγάλα κβαντικά συστήματα, αλληλεπιδρούν γενικά με το περιβάλλον τους, και συμβαίνει μια διαδικασία που λέγεται αποσυνοχή (ή καταστροφή της υπέρθεσης), η οποία καταστρέφει τις κβαντικές ιδιότητες.
Ως παράδειγμα για την καταστροφή της υπέρθεσης θεωρείστε το περίφημο παράδειγμα του Erwin Schrödinger της γάτας που βρίσκεται σε μια παράξενη κβαντική κατάσταση μέσα σ’ ένα κουτί. Η γάτα είναι σε μια κβαντική κατάσταση στην οποία είναι ζωντανή και νεκρή συγχρόνως.
Σ’ ένα πραγματικό πείραμα ωστόσο, η γάτα αλληλεπιδρά με το δοχείο ανταλλάσσοντας φως, θερμότητα και ήχο και το δοχείο με τη σειρά του αλληλεπιδρά με τον υπόλοιπο κόσμο. Μέσα σε νανοδευτερόλεπτα, οι διαδικασίες αυτές καταστρέφουν τις εύθραυστες κβαντικές καταστάσεις μέσα στο δοχείο και τις αντικαθιστούν με διακριτές καταστάσεις οι οποίες με καλή προσέγγιση υπακούουν στους κλασσικούς νόμους. Η γάτα τώρα μεταπίπτει σε κατάσταση που είναι είτε ζωντανή είτε νεκρή αλλά όχι πια σε συνδυασμό των δύο αυτών καταστάσεων.
Το κλειδί για να δούμε πραγματικά κβαντική συμπεριφορά σε ένα πολύπλοκο σύστημα είναι να απομονώσουμε εξαιρετικά καλά το σύστημα από τον εξωτερικό κόσμο, εμποδίζοντας έτσι την καταστροφή της υπέρθεσης.
Η απομόνωση αυτή είναι σχετικά εύκολο να επιτευχθεί με μικρά συστήματα όπως είναι τα άτομα που αιωρούνται μέσα σε μαγνητικά πεδία στο κενό αλλά είναι πολύ πιο δύσκολο να επιτευχθεί με τα μεγαλύτερα συστήματα που δείχνουν πολύπλοκη συμπεριφορά.
Διάφορες μεμονωμένες περιπτώσεις όπως είναι η υπεραγωγιμότητα και το κβαντικό φαινόμενο Hall, αποτελούν παραδείγματα στα οποία οι φυσικοί έχουν πετύχει μεγάλου μεγέθους, καλά απομονωμένα κβαντικά συστήματα.
Τα φαινόμενα αυτά δείχνουν ότι οι απλοί κανόνες της κβαντικής μηχανικής γεννούν νέες αρχές που διέπουν τις πολύπλοκες συμπεριφορές.
________________________________________________________________________________
Πρόσθετο κείμενο
Το παράδειγμα της συμπίεσης δεδομένων αντιστοιχεί σε μια βασική ερώτηση της κλασσικής επιστήμης της πληροφορίας. Ποιος είναι δηλαδή ο ελάχιστος αριθμός των μπιτς που χρειάζεται για να αποθηκευτεί η πληροφορία που παράγεται από κάποια πηγή. Αυτό το πρόβλημα λύθηκε από τον Claude E. Shannon στην περίφημη εργασία του του 1948 με την οποία και ιδρύθηκε η επιστήμη της πληροφορίας. Ο Shannon προσπαθούσε να ποσοτικοποιήσει το περιεχόμενο της πληροφορίας που παράγεται από μια πηγή πληροφορίας. Ταύτισε λοιπόν αυτό το περιεχόμενο με τον ελάχιστο αριθμό των μπιτς που απαιτούνται για να αποθηκεύσουμε το εξαγόμενο της πηγής αξιόπιστα. Η μαθηματική έκφραση για το ενεργειακό αυτό περιεχόμενο είναι σήμερα γνωστή ως εντροπία του Shannon.
Η εντροπία του Shannon προκύπτει ως απάντηση σε μια απλή θεμελιώδη ερώτηση για την επεξεργασία της κλασικής πληροφορίας.
Δεν προκαλεί ίσως έκπληξη το γεγονός ότι η μελέτη των ιδιοτήτων της εντροπίας του Shannon έχει αποδειχτεί χρήσιμη κατά την ανάλυση διαδικασιών πολύ πιο περίπλοκων από τη συμπίεση δεδομένων.
Για παράδειγμα, παίζει κεντρικό ρόλο στον υπολογισμό, πόση πληροφορία μπορεί να μεταδοθεί αξιόπιστα μέσα από ένα δίαυλο επικοινωνίας με θόρυβο και ακόμα στην κατανόηση φαινομένων όπως το στοίχημα και η συμπεριφορά των χρηματιστηρίων.
Ένα γενικό θέμα στην επιστήμη της πληροφορίας είναι ότι οι ερωτήσεις για τις στοιχειώδεις διαδικασίες οδηγούν σε ενοποίηση των ιδεών οι οποίες με τη σειρά τους οδηγούν σε διερεύνηση πιο πολύπλοκων διαδικασιών.
______________________________________________________________________________
Πρόσθετο κείμενο
Εικόνα 2.
Οι επιστήμονες της κβαντικής πληροφορίας ασχολούνται ακόμα με την απεικόνιση των προβλημάτων στο πεδίο τους.
Μερικές απλούστερες διαδικασίες όπως η τηλεμεταφορά και η κβαντική κρυπτογραφία, έχουν κατανοηθεί καλά.
Σε αντίθεση, πολύπλοκα φαινόμενα όπως η διόρθωση κβαντικών λαθών και ο αλγόριθμος παραγοντοποίησης Shor περιβάλλονται από μεγάλες περιοχές που είναι ουσιαστικά terra incognita.
Μια προσπάθεια να γεφυρωθούν τα χάσματα μεταξύ του απλού και του πολύπλοκου είναι η δουλειά για την κατανόηση της θεωρίας της διεμπλοκής. Ο ρόλος της θεωρίας αυτής παρομοιάζεται με τον αντίστοιχο ρόλο της ενέργειας μέσα στα πλαίσια της θερμοδυναμικής.
_________________________________________________________________________________
Στην επιστήμη της κβαντικής πληροφορίας, τα 3 βήματα που έθεσε ο Schumacher αποκτούν νέο περιεχόμενο.
Ποιες νέες φυσικές πηγές είναι διαθέσιμες στην κβαντομηχανική; Ποιές εργασίες επεξεργασίας της πληροφορίας μπορούμε να εκτελέσουμε; Ποια είναι τα κατάλληλα κριτήρια για να διαπιστώσουμε αν πέτυχε η εργασία μας; Οι φυσικές πηγές τώρα περιλαμβάνουν καταστάσεις με υπέρθεση, σαν την εξιδανικευμένη νεκρή και ζωντανή γάτα του Schrödinger.
Οι διαδικασίες μπορούν να περιλαμβάνουν διαχείριση διεμπλοκών (μυστηριώδεις κβαντικοί συσχετισμοί) μεταξύ αντικειμένων σε μεγάλες μεταξύ τους αποστάσεις. Τα κριτήρια της επιτυχίας γίνονται πιο εκλεπτυσμένα από αυτά της κλασσικής περίπτωσης, διότι για να εξάγουμε το αποτέλεσμα από μια διαδικασία χειρισμού κβαντικής πληροφορίας, πρέπει να παρατηρήσουμε ή να μετρήσουμε το σύστημα – πράγμα που αναπόφευκτα το αλλάζει, καταστρέφοντας την υπέρθεση που είναι μοναδικό γνώρισμα της κβαντικής φυσικής.
Τα qubits
Η επιστήμη της κβαντικής πληροφορίας αρχίζει με τη γενίκευση του μπιτ, που είναι η θεμελιώδης πηγή της κλασσικής πληροφορίας, στο κβαντικό bit ή απλά qubit. Όπως τα bits είναι ιδεατά αντικείμενα, που έχουν αποκοπεί από τις αρχές της κλασσικής φυσικής, έτσι και τα qubits είναι ιδεατά κβαντικά αντικείμενα αποκομμένα από τις αρχές της κβαντικής μηχανικής.
Τα bits μπορούν να παρασταθούν με περιοχές μαγνήτισης δίσκων, ηλεκτρικές τάσεις σε κυκλώματα, ή ακόμη και με σημάδια από μολύβι πάνω στο χαρτί. Η λειτουργία αυτών των κλασσικών φυσικών καταστάσεων ως μπιτς, δεν εξαρτάται από τις λεπτομέρειες πως τα παραστήσαμε. Παρόμοια οι ιδιότητες ενός qubit, είναι ανεξάρτητες από τη συγκεκριμένη φυσική του αναπαράσταση π.χ. ως κάποιου σπιν ενός ατομικού πυρήνα ή ως πόλωση ενός φωτονίου.
Ένα bit περιγράφεται από την κατάστασή του 0 ή 1. Παρόμοια, ένα qubit περιγράφεται από την κβαντική του κατάσταση. Δύο διαφορετικές δυνατές καταστάσεις για ένα qubit, αντιστοιχούν στο 0 και στο 1 ενός κλασσικού μπιτ. Στην κβαντομηχανική όμως κάθε αντικείμενο που έχει δύο διαφορετικές καταστάσεις έχει αναγκαστικά και μια περιοχή ολόκληρη άλλων καταστάσεων, που λέγονται υπερθέσεις και οι οποίες περιέχουν τις αρχικές δύο καταστάσεις κατά ένα μεταβλητό ποσοστό την κάθε μια.
Οι επιτρεπόμενες καταστάσεις ενός qubit είναι κατ’ αρχήν όλες εκείνες οι καταστάσεις που είναι διαθέσιμες για ένα μπιτ, το οποίο εμφυτεύεται σε έναν κβαντικό κόσμο. Οι καταστάσεις του qubit αντιστοιχούν σε σημεία επί της επιφανείας μιας σφαίρας, όπου το 0 και το 1 είναι ο Νότιος και Βόρειος πόλος της (Βλέπε και εικόνα 1).
Η συνέχεια της περιοχής της σφαίρας μεταξύ των καταστάσεων 0 και 1, δημιουργεί πολλές από τις παράδοξες ιδιότητες της κβαντικής πληροφορίας.
Πόση κλασσική πληροφορία μπορεί ν’ αποθηκευτεί σε ένα qubit; Κάποια επιχειρήματα δείχνουν ότι η ποσότητα της πληροφορίας είναι άπειρη: Για να καθορίσουμε μια κβαντική κατάσταση χρειάζεται να καθορίσουμε το "πλάτος" και "μήκος" του αντίστοιχου σημείου επί της σφαίρας και τουλάχιστον κατ’ αρχήν αυτό μπορεί να γίνει με όσο μεγάλη ακρίβεια θέλουμε.
Οι αριθμοί αυτοί μπορούν να κωδικοποιήσουν μια μεγάλου μήκους ακολουθία ψηφίων. Για παράδειγμα η σειρά 011101101… μπορεί να κωδικοποιηθεί ως μια κατάσταση με πλάτος 01 μοίρες, 11 πρώτα λεπτά, και 01,101 δεύτερα λεπτά της μοίρας.
Το επιχείρημα αυτό αν και ακούγεται εύλογο είναι λανθασμένο. Μπορεί πράγματι κάποιος να κωδικοποιήσει άπειρη ποσότητα πληροφορίας σε ένα qubit, αλλά δεν μπορεί ποτέ να ανακτήσει όλη αυτή την πληροφορία από το qubit.
Η πιο απλή προσπάθεια να διαβάσει την κατάσταση του qubit με μια μέτρησή του, θα δώσει ως αποτέλεσμα είτε 0 είτε 1, (Νότιο ή Βόρειο πόλο), με την πιθανότητα για οποιοδήποτε εξαγόμενο να καθορίζεται από το πλάτος της αρχικής κατάστασης.
Θα μπορούσατε ίσως να επιλέξετε μια διαφορετική μέτρηση, χρησιμοποιώντας πιθανόν τον άξονα "Μελβούρνη-Αζόρες" αντί για "Βόρειο-Νότιο", αλλά και πάλι μόνο ένα μπιτ πληροφορίας θα ήταν το εξαγόμενο. Το εξαγόμενο αυτό θα εξαρτιόταν και πάλι από τις πιθανότητες που θα καθόριζαν και πάλι το πλάτος και μήκος της κατάστασης στο νέο σύστημα συντεταγμένων. Όποια μέτρηση και αν επιλέξουμε, σβήνεται όλη η πληροφορία του qubit, εκτός από το απλό μπιτ που αποκαλύπτει η μέτρηση.
Οι αρχές της κβαντικής μηχανικής μας εμποδίζουν να εξάγουμε περισσότερο από ένα μόνο μπιτ πληροφορίας, άσχετα από το πόσο έξυπνα έχουμε κωδικοποιήσει το qubit ή πόσο έξυπνα κάνουμε τη μέτρησή μας.
Το εκπληκτικό αυτό αποτέλεσμα αποδείχτηκε το 1973 από τον Alexander S. Holevo του Μαθηματικού Ινστιτούτου του Steklov στη Μόσχα, μετά από μια εικασία που είχε διατυπώσει το 1964 ο J. P. Gordon των εργαστηρίων AT&T Bell.
Είναι σαν το qubit να περιέχει κρυμμένη πληροφορία, την οποία μπορούμε μεν να χειριστούμε αλλά δεν μπορούμε να έχουμε κατευθείαν πρόσβαση σ’ αυτή. Μια καλύτερη αντιμετώπιση είναι όμως να θεωρήσουμε αυτή την κρυμμένη πληροφορία σα να είναι μια μονάδα κβαντικής πληροφορίας μάλλον, παρά μια άπειρη ακολουθία από κλασσικά bits στα οποία δεν έχουμε πρόσβαση.
________________________________________________________________________________
Πρόσθετο κείμενο
Η αντιμετώπιση των σφαλμάτων
Εικόνα 3
Ο κλασσικός κώδικας επανάληψης
Το απλό κλασσικό σχήμα για τον περιορισμό των σφαλμάτων, κωδικοποιεί κάθε μπιτ ως μια τριπλέτα από όμοια bits. Αν κάποιος θόρυβος αντιστρέψει ένα μπιτ, το σφάλμα μπορεί να αποκατασταθεί επιδιορθώνοντας το μεμονωμένο μπιτ της τριπλέτας.
________________________________________________________________________________
Παρατηρείστε πως το παραπάνω παράδειγμα ακολουθεί την μεθοδολογία του Schumacher για την επιστήμη της πληροφορίας. Οι Gordon και Holevo, αναρωτήθηκαν πόσα qubits (η φυσική πηγή) απαιτούνται για ν’ αποθηκευτεί μια δεδομένη ποσότητα κλασσικής πληροφορίας ( η εργασία) κατά τρόπο ώστε η πληροφορία να μπορεί ν’ ανακτηθεί αξιόπιστα (το κριτήριο επιτυχίας). Επιπλέον, για ν’ απαντήσουν στην ερώτηση εισήγαγαν μια μαθηματική έννοια γνωστή σήμερα ως το χ του Holevo, που έκτοτε έχει χρησιμοποιηθεί για να απλοποιήσει την ανάλυση πιο περίπλοκων φαινομένων παρόμοια με τις απλοποιήσεις που πέτυχε η εντροπία του Shannon. Για παράδειγμα ο Michal Horodecki του Πανεπιστημίου του Gdansk στην Πολωνία έδειξε ότι το χ του Holevo μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ν’ αναλύσουμε το πρόβλημα της συμπίεσης των κβαντικών καταστάσεων που παράγονται από μια πηγή κβαντικής πληροφορίας, πράγμα που είναι ανάλογο με την κλασσική συμπίεση δεδομένων του Shannon.
Οι πεπλεγμένες καταστάσεις
Τα απλά qubits είναι ενδιαφέροντα, αλλά ακόμη πιο ενδιαφέρουσα συμπεριφορά προκύπτει όταν διάφορα qubits αποτελέσουν μια ομάδα. Ένα κύριο χαρακτηριστικό για την επιστήμη της κβαντικής πληροφορίας είναι η κατανόηση ότι οι ομάδες από δύο ή περισσότερα κβαντικά αντικείμενα μπορούν να έχουν καταστάσεις που να είναι διαπλεγμένες. Αυτές οι διαπλεγμένες καταστάσεις έχουν ιδιότητες τελείως ξεχωριστές από οτιδήποτε αντικείμενο της κλασσικής φυσικής και αποτελούν ένα νέο τύπο φυσικών πηγών με τις οποίες μπορούμε να εκτελέσουμε ενδιαφέρουσες εργασίες.
Ο Schrödinger είχε εντυπωσιαστεί τόσο πολύ από την διεμπλοκή, ώστε σε μια εργασία του του 1935 (το ίδιο έτος που εισήγαγε και την περίφημη γάτα του), την χαρακτήρισε ως το κύριο χαρακτηριστικό της κβαντομηχανικής, το χαρακτηριστικό εκείνο που ενεργοποιεί την απομάκρυνσή της από τη κλασσική γραμμή σκέψης. Τα μέλη μιας διαπλεγμένης συλλογής αντικειμένων, δεν έχουν τις δικές τους ξεχωριστές κβαντικές καταστάσεις. Μόνο η ομάδα ως σύνολο έχει μια καλά καθορισμένη κατάσταση. Βλέπε εικόνα 4. Το φαινόμενο αυτό είναι πολύ πιο ιδιόμορφο από την απλή υπέρθεση των καταστάσεων ενός συγκεκριμένου σωματιδίου. Ένα τέτοιο σωματίδιο έχει μια καλά καθορισμένη κβαντική κατάσταση ακόμη και αν αυτή η κατάσταση μπορεί να είναι υπέρθεση διαφορετικών κλασσικών καταστάσεων.
Εικόνα 4.
Αν τα ζάρια μπορούσαν να διαπλεχθούν με τον τρόπο των κβαντικών σωματιδίων, κάθε διαπλεγμένο ζευγάρι θα έδινε το ίδιο αποτέλεσμα, ακόμη και αν τα ρίχναμε σε τοποθεσίες που θ’ απείχαν έτη φωτός η μία από την άλλη ή σε εντελώς διαφορετικούς χρόνους.
Τα διαπλεγμένα κβαντικά συστήματα συμπεριφέρονται με τρόπους που είναι αδύνατοι στον κλασσικό κόσμο.
Τα διαπλεγμένα αντικείμενα συμπεριφέρονται σαν να ήταν συνδεδεμένα το ένα με το άλλο, άσχετα από το πόσο μακριά βρίσκονται μεταξύ τους. Η απόσταση δεν ελαττώνει καθόλου τον βαθμό διεμπλοκής. Αν κάτι είναι διαπεπλεγμένο με άλλα αντικείμενα, και εκτελέσουμε μια μέτρηση σ’ αυτό, συγχρόνως παίρνουμε πληροφορία και για τους συνεργάτες του. Εύκολα μπορεί να γίνει η παρεξήγηση και να σκεφθούμε ότι κάποιος θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει τη διεμπλοκή για να στείλει σήματα με ταχύτητα μεγαλύτερη του φωτός, παραβιάζοντας την ειδική σχετικότητα του Einstein, αλλά η πιθανοκρατική φύση της κβαντομηχανικής εμποδίζει παρόμοιες προσπάθειες.
Για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα, η διεμπλοκή θεωρήθηκε ως αξιοπερίεργο φαινόμενο και κατά βάση αγνοήθηκε από τους φυσικούς. Η κατάσταση άλλαξε στη δεκαετία του 1960 όταν ο John S. Bell στο CERN, πρόβλεψε ότι οι διαπλεγμένες κβαντικές καταστάσεις μας επιτρέπουν να εκτελέσουμε κρίσιμους πειραματικούς ελέγχους, με τους οποίους διακρίνουμε την κβαντομηχανική από την κλασσική φυσική. Ο Bell πρόβλεψε και οι πειραματικοί επιβεβαίωσαν ότι τα διαπλεγμένα κβαντικά συστήματα παρουσιάζουν τέτοια συμπεριφορά, η οποία είναι αδύνατη στον κλασσικό κόσμο. Αδύνατη, ακόμη και αν κάποιος άλλαζε τους νόμους της φυσικής προσπαθώντας να εξομοιώσει τις κβαντικές προβλέψεις με ένα σύνολο κλασσικών νόμων οποιουδήποτε είδους! Η διεμπλοκή αναπαριστάνει ένα τόσο νεωτεριστικό χαρακτηριστικό του κόσμου μας, ώστε ακόμη και οι ειδικοί βρίσκουν δυσκολία να σκέφτονται μ’ αυτήν. Αν και κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει τα μαθηματικά της κβαντομηχανικής για να επιχειρηματολογεί για την διεμπλοκή, μόλις ξαναγυρίσει σε επιχειρήματα με κάποια ανάλογα κλασσικά φαινόμενα, υπάρχει μεγάλος κίνδυνος να οδηγηθεί σε λάθος συμπεράσματα από την κλασσική βάση των αναλόγων που επικαλείται.
Στις αρχές της δεκαετίας του 1990 η ιδέα ότι η διεμπλοκή βγαίνει τελείως έξω από τη θεώρηση της κλασσικής φυσικής, έκανε τους ερευνητές ν’ αναρωτηθούν αν η διεμπλοκή θα μπορούσε να φανεί χρήσιμη ως πηγή επίλυσης διαφόρων προβλημάτων επεξεργασίας πληροφορίας, με νέους τρόπους. Η απάντηση ήταν καταφατική. Η πληθώρα των παραδειγμάτων άρχισε το 1991, όταν ο Artur K. Ekert του πανεπιστημίου του Cambridge έδειξε πως να χρησιμοποιήσουμε τη διεμπλοκή για να διαμοιράσουμε κρυπτογραφικά κλειδιά που δεν μπορούν να υποκλαπούν. Το 1992 ο Charles H. Bennett στην IBM και ο Stephen Wiesner του πανεπιστημίου του Tel Aviv, έδειξαν πως η διεμπλοκή θα μπορούσε να βοηθήσει στην αποστολή κλασσικής πληροφορίας από ένα τόπο σ’ έναν άλλο (μια διαδικασία που λέγεται υπέρ-πυκνή κωδικοποίηση, στην οποία δύο μπιτς μεταφέρονται από ένα σωματίδιο το οποίο φαινομενικά έχει χώρο για να μεταφέρει μόνο ένα). Το 1993 μια διεθνής ομάδα με 6 συνεργάτες εξήγησε πως να τηλεμεταφέρουμε μια κβαντική κατάσταση από ένα τόπο σ’ έναν άλλο, χρησιμοποιώντας τη διεμπλοκή. Ακολούθησε μια έκρηξη από νέες εφαρμογές.
Ζυγίζοντας τη διεμπλοκή
Όπως τα ξεχωριστά κιούμπις μπορούν να παρασταθούν με πολλά διαφορετικά φυσικά αντικείμενα, έτσι και η διεμπλοκή έχει ιδιότητες που είναι ανεξάρτητες από τη φυσική αναπαράστασή της. Για πρακτικούς σκοπούς μπορεί να μας συμφέρει να εργαστούμε με το ένα ή το άλλο σύστημα, αλλά κατ’ αρχήν αυτό δεν έχει σημασία. Για παράδειγμα, κάποιος μπορεί να κάνει κβαντική κρυπτογραφία με ένα διαπλεγμένο ζεύγος φωτονίων ή ένα διαπλεγμένο ζεύγος ατομικών πυρήνων ή ακόμη και ένα φωτόνιο διαπλεγμένο με ένα πυρήνα.
Η μη εξάρτηση από την αναπαράσταση, μας κάνει να σκεφτούμε μια αναλογία μεταξύ της διεμπλοκής και της ενέργειας. Η ενέργεια υπακούει στους νόμους της θερμοδυναμικής ανεξάρτητα αν είναι χημική ενέργεια, πυρηνική ενέργεια ή οποιασδήποτε άλλης μορφής. Θα μπορούσε άραγε να αναπτυχθεί μια γενική θεωρία της διεμπλοκής ακολουθώντας πάνω-κάτω την ανάπτυξη των νόμων της θερμοδυναμικής;
Η ελπίδα αυτή αναπτύχθηκε στο δεύτερο μισό της δεκαετίας του 1990, όταν οι ερευνητές έδειξαν ότι οι διαφορετικοί τύποι της διεμπλοκής είναι ποιοτικά ισοδύναμοι – η διεμπλοκή μιας κατάστασης μπορεί να μεταβιβαστεί σε άλλη, όπως π.χ. η ενέργεια που μεταβιβάζεται από ένα φορτιστή μπαταριών σε μια μπαταρία. Στηριγμένοι πάνω σε τέτοιες ποιοτικές αναλογίες, οι ερευνητές άρχισαν να εισάγουν ποσοτικά μέτρα για τη διεμπλοκή. Η ανάπτυξη αυτή συνεχίζεται και σήμερα και οι ερευνητές δεν έχουν ακόμη συμφωνήσει ποιός είναι ο καλύτερος τρόπος για την ποσοτικοποίηση της διεμπλοκής. Το καταλληλότερο σχήμα μέχρι τώρα βασίζεται στην καθιέρωση μιας πρότυπης μονάδας για τη διεμπλοκή, συγγενή με την μονάδα μάζας ή ενέργειας.
Η προσέγγιση αυτή δουλεύει κατ’ αναλογία με την μέτρηση μαζών με ζύγισμα. Η μάζα ενός αντικειμένου ορίζεται με το πόσες φορές πρέπει να βάλουμε μια πρότυπη μάζα στο ένα σκέλος μιας ζυγαριάς, ώστε να εξισορροπήσουμε την άγνωστη μάζα πάνω στο άλλο σκέλος της ζυγαριάς. Οι επιστήμονες της κβαντικής πληροφορίας έχουν αναπτύξει μια θεωρητική "ζυγαριά διεμπλοκής", για να συγκρίνουν τη διεμπλοκή δύο διαφορετικών καταστάσεων. Η διεμπλοκή μιας συγκεκριμένης κατάστασης ορίζεται βλέποντας πόσες φορές χρειάζεται να επαναλάβουμε μια συγκεκριμένη μονάδα διεμπλοκής ώστε να εξισορροπείται η άγνωστη διεμπλοκή. Σημειώστε ότι η μέθοδος αυτή της ποσοτικοποίησης της διεμπλοκής είναι ακόμη ένα παράδειγμα της θεμελιώδους ερώτησης της επιστήμης της πληροφορίας. Έχουμε βρει μια πηγή πληροφορίας (αντίγραφα μιας διαπλεγμένης κατάστασης), και μια εργασία με ένα κριτήριο επιτυχίας. Ορίζουμε το μέτρο της διεμπλοκής ρωτώντας πόσο μέρος από τη φυσική πηγή μας χρειαζόμαστε για να εκτελέσουμε την εργασία επιτυχώς.
Τα ποσοτικά μέτρα της διεμπλοκής, που αναπτύχθηκαν ακολουθώντας το πρόγραμμα αυτό, αποδεικνύονται εξαιρετικά χρήσιμα στην ενοποίηση των εννοιών που χρειάζονται για την περιγραφή μιας μεγάλης σειράς φαινομένων. Τα μέτρα της διεμπλοκής βελτιώνουν τον τρόπο που οι ερευνητές μπορούν να αναλύουν εργασίες όπως η κβαντική τηλεμεταφορά αλλά και αλγόριθμους σε κβαντικούς υπολογιστές. Η αναλογία με την ενέργεια βοηθάει ξανά: Για να κατανοήσουμε διαδικασίες όπως οι χημικές αντιδράσεις ή η λειτουργία μιας θερμικής μηχανής, μελετάμε τη ροή της ενέργειας μεταξύ των διαφόρων μερών του συστήματος και καθορίζουμε πως πρέπει η ενέργεια να περιορίζεται σε διαφορετικές θέσεις κατά τις διάφορες χρονικές στιγμές. Κατά παρόμοιο τρόπο μπορούμε να αναλύσουμε την απαιτούμενη ροή της διεμπλοκής από ένα υποσύστημα σε άλλο, ώστε να εκτελεστεί μια διεργασία επεξεργασίας της πληροφορίας, κι έτσι να πετύχουμε τους αναγκαίους περιορισμούς για τις πηγές που απαιτούνται για να εκτελεστεί η εργασία.
Η ανάπτυξη της θεωρίας της διεμπλοκής είναι ένα παράδειγμα μιας προσέγγισης από τα απλούστερα προς τα συνθετότερα. Ξεκινώντας από απλές ερωτήσεις για το πως ζυγίζουμε την διεμπλοκή, εισχωρήσαμε βαθμιαία σε πιο πολύπλοκα φαινόμενα. Αντίθετα, σε κάποιες άλλες περιπτώσεις, οι άνθρωποι έχουν προσεγγίσει εξαιρετικά πολύπλοκα φαινόμενα, προχωρώντας από πάνω προς τα κάτω. Το πιο ονομαστό παράδειγμα είναι ένας αλγόριθμος εύρεσης των πρώτων παραγόντων ενός σύνθετου ακεραίου, σε ένα κβαντικό υπολογιστή. Τον αλγόριθμο αυτόν δημιούργησε το 1994 ο Peter W. Shor των εργαστηρίων AT&T Bell. Σε ένα κλασσικό υπολογιστή, οι καλύτεροι αλγόριθμοι που γνωρίζουμε, απαιτούν εκθετικά αυξανόμενες πηγές για την παραγοντοποίηση όλο και μεγαλύτερων αριθμών. Ένας αριθμός με 500 ψηφία χρειάζεται 100 εκατομμύρια φορές περισσότερους υπολογισμούς απ’ ότι ένας αριθμός με 250 ψηφία. Στον αλγόριθμο του Shor η αύξηση είναι μόνο πολυωνυμική. Ένας αριθμός με 500 ψηφία χρειάζεται μόνο 8 φορές περισσότερα βήματα απ’ ότι ένας αριθμός με 250 ψηφία.
Ο αλγόριθμος του Shor είναι ένα ακόμη παράδειγμα του βασικού ζητήματος (πόσος χρόνος υπολογισμών απαιτείται για να βρούμε τους παράγοντες ενός ακεραίου με n ψηφία;), αλλά ο αλγόριθμος μοιάζει να είναι απομονωμένος από όλα σχεδόν τα άλλα αποτελέσματα της επιστήμης της κβαντικής πληροφορίας. Βλέπε εικόνα 2. Εκ πρώτης όψεως φαίνεται απλώς σαν ένα έξυπνο υπολογιστικό τέχνασμα με μικρή θεμελιώδη αξία. Αυτό όμως είναι απατηλό. Οι ερευνητές έχουν δείξει ότι ο αλγόριθμος του Shor μπορεί να ερμηνευτεί ως μια περίπτωση της διαδικασίας για την εύρεση των ενεργειακών σταθμών ενός κβαντικού συστήματος, μιας διαδικασίας που η σημασία της είναι θεμελιώδης. Με την πάροδο του χρόνου, καθώς ο χάρτης των ζητημάτων της κβαντικής πληροφορίας συμπληρώνεται όλο και περισσότερο, θα είναι όλο και πιο εύκολο να συλλάβουμε τις αρχές που βρίσκονται κάτω από τον αλγόριθμο του Shor και από άλλους κβαντικούς αλγόριθμους. Ελπίζουμε επίσης να αναπτύξουμε και νέους αλγόριθμους.
Μια τελευταία εφαρμογή, η διόρθωση κβαντικών σφαλμάτων, μας δίνει την καλύτερη ένδειξη μέχρι σήμερτα, ότι η επιστήμη της κβαντικής πληροφορίας είναι ένα χρήσιμο πλαίσιο για τη μελέτη του κόσμου. Οι κβαντικές καταστάσεις είναι ευπαθείς, καταστρέφονται εύκολα από τυχαίες αλληλεπιδράσεις ή από θόρυβο, κι έτσι οι τρόποι αντιμετώπισης αυτών των διαταραχών είναι μεγάλης σημασίας.
Οι κλασσικοί τρόποι υπολογισμού και επικοινωνίας έχουν ήδη πετύχει ισχυρούς κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων για να προστατέψουν την πληροφορία από την διείσδυση του θορύβου. Ένα τέτοιο απλό παράδειγμα είναι ο κώδικας επανάληψης που φαίνεται στην εικόνα 3.
Το σχήμα αυτό αντικαθιστά το απλό μπιτ 0 με μια ακολουθία από 3 μπιτς, 000, και το μπιτ 1 με μια ακολουθία τριών μπιτς 111. Αν ο θόρυβος είναι σχετικά αδύνατος μπορεί ν’ αλλάξει ένα από τα μπιτς σε μια τριπλέτα. Μπορεί π.χ. ν’ αλλάξει το 000 σε 010, αλλά η αλλαγή 2 μπιτς σε μια τριπλέτα είναι κάτι πολύ λιγότερο πιθανό. Οποτεδήποτε συναντήσουμε 010 (ή 100 ή 001), μπορούμε να είμαστε σχεδόν σίγουροι ότι η σωστή ακολουθία είναι 000 δηλαδή 0. Πιο πολύπλοκες γενικεύσεις αυτής της ιδέας μας δίνουν πολύ ισχυρούς κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων για την προστασία της κλασσικής πληροφορίας.
Η κβαντική διόρθωση σφαλμάτων
Αρχικά φάνηκε ότι είναι αδύνατον να αναπτύξουμε κώδικες για την διόρθωση κβαντικών σφαλμάτων, διότι η κβαντομηχανική μας απαγορεύει να μάθουμε με βεβαιότητα την άγνωστη κατάσταση ενός κβαντικού αντικειμένου – ξανά μπροστά μας το εμπόδιο στην προσπάθεια να έχουμε ως εξαγόμενο περισσότερα του ενός μπιτ από ένα qubit.
Ο κώδικας της απλής κλασσικής τριπλέτας συνεπώς αποτυγχάνει διότι δεν μπορούμε να εξετάσουμε κάθε αντίγραφο ενός qubit χωρίς να καταστρέψουμε όλα τα αντίγραφα κατά την διαδικασία αυτή. Ακόμη χειρότερα, το να φτιάξουμε αντίγραφα στην αρχική μας θέση δεν είναι απλό. Η κβαντομηχανική μας απαγορεύει να πάρουμε ένα άγνωστο qubit και να φτιάξουμε με αξιοπιστία ένα αντίγραφό του. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό ως θεώρημα της αδυναμίας κλωνοποίησης.
Η κβαντική διόρθωση σφαλμάτων θα μπορούσε να βελτιώσει την ακρίβεια των καλύτερων ρολογιών του κόσμου.
Η κατάσταση έμοιαζε αδιέξοδη στα μέσα της δεκαετίας του 1990 όταν σπουδαίοι φυσικοί όπως ο Rolf Landauer της IBM έγραψαν κάποια κριτικά άρθρα που έλεγαν ότι η κβαντική διόρθωση σφαλμάτων θα ήταν αναγκαία για τους κβαντικούς υπολογιστές, αλλά οι κλασσικοί κώδικες δεν μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν στον κβαντικό κόσμο. Το πεδίο αυτό οφείλει πολλά στην κριτική του Rolf Landauer επειδή υπέδειξε συγκεκριμένα προβλήματα αυτού του τύπου που έπρεπε να ξεπεραστούν. Βλέπε το άρθρο του Gary Stix στο Scientific American, του Σεπτεμβρίου 1998 με τίτλο: "Riding the Back of Electrons".
Ευτυχώς, έξυπνες ιδέες που αναπτύχθηκαν ανεξάρτητα από τον Shor και τον Andrew M. Steane του πανεπιστημίου της Οξφόρδης το 1995, έδειξαν πως μπορούμε να κάνουμε κβαντική διόρθωση σφαλμάτων, χωρίς να μάθουμε ποτέ τις καταστάσεις των qubits ή να χρειαστεί να τις κλωνοποιήσουμε.
Όπως και με τον κώδικα της τριπλέτας, κάθε τιμή παριστάνεται με ένα σύνολο από qubits. Τα qubits αυτά περνάνε μέσα από ένα κύκλωμα ( το κβαντικό ανάλογο των λογικών πυλών ) το οποίο βρίσκει με επιτυχία ένα σφάλμα στα qubits χωρίς να "διαβάσει" πραγματικά ποιες είναι οι ξεχωριστές καταστάσεις. Είναι σαν κάποιος να περνούσε την τριπλέτα 010 μέσα από ένα κύκλωμα που θα εντόπιζε ότι το μεσαίο μπιτ ήταν διαφορετικό και θα το αντέστρεφε, χωρίς να μάθει ποτέ την ταυτότητα καθενός από τα τρία μπιτς ξεχωριστά (βλέπε και εικόνα 5)
Εικόνα 5.
Οι κώδικες διόρθωσης κβαντικών σφαλμάτων αποτελούν ένα θρίαμβο της επιστήμης. Κάτι που κοφτερά μυαλά πίστευαν πως δεν μπορεί να γίνει – η προστασία των κβαντικών καταστάσεων από τον θόρυβο – επιτεύχθηκε με τη χρήση ενός συνδυασμού ιδεών από την επιστήμη της πληροφορίας και από την βασική κβαντομηχανική. Οι τεχνικές αυτές έχουν τώρα επιβεβαιωθεί προκαταρκτικά με πειράματα που έγιναν στο Εθνικό Αμερικανικό εργαστήριο του Los Alamos, στην IBM, και στο MIT, ενώ σχεδιάζονται πιο εκτεταμένα πειράματα.
Η κβαντική διόρθωση σφαλμάτων έχει δημιουργήσει επίσης πολλές ενδιαφέρουσες νέες ιδέες. Για παράδειγμα, τα καλύτερα ρολόγια στον κόσμο, περιορίζονται από τον κβαντομηχανικό θόρυβο. Οι ερευνητές αναρωτήθηκαν πως μπορεί να βελτιωθεί η ακρίβεια αυτών των ρολογιών με τη χρήση της διόρθωσης κβαντικού σφάλματος. Μια άλλη ιδέα που προτάθηκε από τον Alexei Kitaev του CalTtech, είναι ότι μερικά φυσικά συστήματα μπορεί να έχουν ένα τύπο φυσικής ανοχής στο θόρυβο. Αυτά τα συστήματα θα χρησιμοποιούν κβαντική διόρθωση σφαλμάτων, χωρίς την ανθρώπινη επέμβαση και θα μπορούσαν να επιδείξουν εξαιρετική αντίσταση στην καταστροφή της υπέρθεσης των καταστάσεων.
Εξερευνήσαμε πως η επιστήμη της κβαντικής πληροφορίας σημειώνει πρόοδο από τα θεμελιώδη ερωτήματα προς την οικοδόμηση όλο και πιο πολύπλοκων συστημάτων. Τι μας επιφυλάσσει το μέλλον;
Ακολουθώντας το πρόγραμμα του Schumacher, θα πετύχουμε σίγουρα μεγαλύτερη κατανόηση για τις δυνατότητες επεξεργασίας πληροφορίας του Σύμπαντος.
Ίσως οι μέθοδοι της επιστήμης της κβαντικής πληροφορίας, να μας δώσουν μεγαλύτερη κατανόηση για συστήματα που παραδοσιακά δεν τα θεωρούσαμε ως συστήματα επεξεργασίας πληροφορίας. Για παράδειγμα, η συμπυκνωμένη ύλη επιδεικνύει πολύπλοκα φαινόμενα, όπως είναι η υπεραγωγιμότητα υψηλών θερμοκρασιών και το κβαντικό φαινόμενο Hall με κλασματικά φορτία.
Κβαντικές ιδιότητες όπως η διεμπλοκή επεμβαίνουν, αλλά ο ρόλος τους δεν είναι σήμερα κατανοητός ξεκάθαρα. Εφαρμόζοντας ότι έχουμε μάθει από την επιστήμη της κβαντικής πληροφορίας, μπορούμε να τα βγάλουμε πέρα καλύτερα, στην παρτίδα σκακιού που παίζουμε με το πολύπλοκο κβαντικό Σύμπαν.
Άρθρο του Michael A. Nielsen, από την ιστοσελίδα του Scientific American.com
πηγηΦιλε μου ο σημερινός εχθρός σου είναι η παραπληροφόρηση των μεγάλων καναλιών. Αν είδες κάτι που σε άγγιξε , κάτι που το θεωρείς σωστό, ΜΟΙΡΆΣΟΥ ΤΟ ΤΩΡΑ με ανθρώπους που πιστεύεις οτι θα το αξιολογήσουν και θα επωφεληθούν απο αυτό! Μην μένεις απαθής. Πρώτα θα νικήσουμε την ύπνωση και μετά ΟΛΟΙ ΜΑΖΙ τα υπόλοιπα.
Social Plugin